Dixon-Coles Modeli Nedir? Futbol Tahminlerinde Nasıl Kullanılır?
Dixon-Coles, bir futbol maçında her skorun olasılığını hesaplayan istatistiksel bir modeldir. Her takıma bir hücum ve bir savunma gücü atar, lige bir ev sahibi avantajı ekler ve düşük skorlu maçlar için küçük ama önemli bir düzeltme uygular. 1997'de Mark Dixon ve Stuart Coles tarafından yayımlanmıştır ve futbol modellemesinin bugün hâlâ en yaygın başlangıç noktasıdır.
Önemli bir sınır çizelim: Dixon-Coles tek bir maçı modeller. Şampiyonluk ihtimalini tek başına üretmez. MUHTEMEL'de bu model kalan her maç için bir skor dağılımı üretir; şampiyonluk ihtimali ise o dağılımlarla sezonun yüz bin kez simüle edilmesinden çıkar.
Poisson temeli
Bir maçta atılan gol sayısı, seyrek ve birbirinden büyük ölçüde bağımsız olayların sayısıdır. İstatistikte bu tür sayımlar için doğal araç Poisson dağılımıdır. Poisson tek bir sayıyla çalışır: λ (lambda), yani "ortalama kaç gol beklenir".
Bir takımın beklenen golü 1,4 ise Poisson bize şunu verir: 0 gol atma ihtimali ~%25, 1 gol ~%35, 2 gol ~%24, 3 gol ~%11. Yani tek bir tahmin yerine bütün seçeneklerin dağılımı. Maçın iki tarafı için bu yapıldığında her skorun — 1-0, 2-1, 0-0 — olasılığı elde edilir.
Asıl soru şu: her maç için λ nereden gelir?
Hücum gücü, savunma gücü, ev sahibi avantajı
Dixon-Coles her takıma iki katsayı verir. Bir maçta beklenen goller şöyle kurulur:
log λ(deplasman) = hücum(deplasman) − savunma(ev)
Türkçesi: iyi hücum eden bir takım, kötü savunan bir rakibe karşı çok gol beklenir. Logaritma kullanılmasının sebebi, güçlerin toplanarak değil çarpanlar gibi davranmasıdır — hücumu iki kat iyi bir takım, gol beklentisini oransal olarak artırır. Ev sahibi avantajı lig geneli tek bir sayıdır ve her ev sahibinin beklentisini aynı oranda yükseltir.
Bu katsayılar elle girilmez; lig tarihindeki bütün skorlardan kestirilir. Güncel değerleri Model sayfasında takım takım görebilirsiniz.
Neden zaman ağırlığı var?
Üç yıl önceki bir 5-0, bu ayki bir 1-1 kadar bilgi taşımaz. Bu yüzden her maç yaşına göre ağırlıklandırılır; ağırlık üstel olarak azalır ve yarılanma süresi yaklaşık beş aydır. Böylece kadro ve form değişimleri modelin kestirimine kendiliğinden yansır.
Düşük skor düzeltmesi: Dixon-Coles'in asıl katkısı
Saf Poisson, iki takımın gol sayılarını birbirinden tamamen bağımsız kabul eder. Gerçek futbol verisinde bu varsayım tam olarak dört skorda bozulur: 0-0, 1-0, 0-1 ve 1-1. Bu skorlar, bağımsızlık varsayımının öngördüğünden farklı sıklıkta görülür.
Sebebi futbolun kendisidir. 0-0 giden bir maçın son yirmi dakikasında iki takım da riske girmez; 1-0 öndeki takım geri çekilir. Yani skorun kendisi sonraki golleri etkiler — bu da bağımsızlık demek değildir.
Dixon ve Coles bunu yeniden model kurarak değil, yalnızca bu dört hücrenin olasılığını küçük bir τ (tau) katsayısıyla düzelterek çözer. ρ (rho) adı verilen tek bir parametre düzeltmenin yönünü ve büyüklüğünü belirler; kalan bütün skorlar dokunulmadan bırakılır. Düzeltme kütle korur: bir yerden alınan olasılık başka bir yere eklenir, toplam yine 1 olur.
Katsayılar nasıl bulunur?
Her takımın hücum ve savunma değeri, lig tarihindeki bütün skorlara aynı anda bakılarak seçilir. Ölçüt basittir: gerçekleşen skorları en olası kılan katsayı takımı hangisiyse o. İstatistikte buna en büyük olabilirlik kestirimi denir.
Pratikte bu, yüzlerce katsayının aynı anda ayarlandığı bir eniyileme problemidir; sayısal bir çözücü olabilirliği artıran yönde adım adım ilerler ve daha iyi bir yön kalmadığında durur.
Bir de dizginleyici terim vardır. Az maç oynamış bir takımın katsayısı sınırlı veriden aşırı uç bir değere kaçabilir; tek bir 5-0 galibiyet o takımı ligin en iyi hücumu gibi gösterebilir. Bunu önlemek için katsayılar hafifçe nötr başlangıç noktasına doğru çekilir. Veri biriktikçe bu çekimin etkisi kendiliğinden azalır: az bilgi varken temkinli, çok bilgi varken veriye sadık bir kestirim ortaya çıkar.
Neden logaritma?
Katsayılar doğrudan gol sayısına değil, gol sayısının logaritmasına eklenir. Bunun iki pratik faydası vardır. Birincisi, beklenen golün asla negatif çıkmamasıdır — logaritmanın tersi her zaman pozitiftir. İkincisi, güçlerin toplanarak değil çarpanlar gibi davranmasıdır: bir takımın hücumu "bir birim" iyileştiğinde gol beklentisi sabit bir sayı kadar değil, sabit bir oran kadar artar. Futbolda gözlenen davranış budur.
MUHTEMEL bunu ne için kullanıyor?
Model, ürünün tam olarak üç yerinde çalışır:
- Takım güçleri. Model sayfasındaki hücum ve savunma değerleri doğrudan bu kestirimden gelir.
- Maç ihtimalleri. Maç sayfalarındaki 1/X/2 oranları ve en olası skorlar, o maçın skor dağılımından okunur.
- Simülasyonun girdisi. Sezon simülasyonu her maçta bu dağılımdan skor çeker.
Kullanılmadığı yerler de en az bunun kadar önemlidir: bahis oranı, elle girilmiş takım gücü, bir dil modelinin yorumu ya da "bu takım formda" türü öznel bir katsayı hiçbir aşamada devreye girmez.
Modelin bilinen sınırları
- Kadro bilgisi yoktur. Sakatlık, ceza, transfer modele doğrudan girmez; ancak sonuçlara yansıdıkça dolaylı olarak öğrenilir.
- Tek bir ev sahibi avantajı vardır. Deplasman mesafesi ya da saha koşulları takıma özel modellenmez.
- Yeni yükselen takımlar zordur. Süper Lig geçmişi olmayan bir kulüp için model az şey bilir. Bu, ölçülmüş ve kısmen giderilmiş bilinen bir zayıflıktır.
Bu sınırların açıkça yazılması, modelin zayıflığı değil kullanım kılavuzudur: bir ihtimali okurken neyin hesaba katılmadığını bilmek, sayının kendisi kadar önemlidir.
Devamı
Bu maç dağılımlarının nasıl bir sezon tablosuna dönüştüğü: 100 bin sezon simülasyonu. Ortaya çıkan yüzdenin nasıl okunacağı: şampiyonluk ihtimali nasıl hesaplanır? Güncel katsayılar ve tanı bilgileri Model sayfasında.